6) Равенство Парсеваля: для каждой П. п. ф. справедливо равенство:
M {|
f (
x)|
2} =
7) Теорема единственности: если f (x) есть непрерывная П. п. ф. и если для всех действительных λ
М {f (х) е-iλx} = 0,
то f (x) ≡ 0. Иначе говоря, ряд Фурье однозначно определяет П. п. ф.
8) Теорема аппроксимации: для каждого ε > 0 можно указать такой конечный тригонометрический полином
(μk — действительные числа), что для всех значений х выполняется неравенство: |f (x) — Pε(x)| < ε; обратно, каждая функция f (x) с этим свойством является П. п. ф.
Первое построение непрерывных П. п. ф. было дано датским математиком Х. Бором (1923). Ещё ранее (1893) частный случай П. п. ф. — т. н. квазипериодические функции — изучил латвийский математик П. Боль. Новое построение теории П. п. ф. дал Н. Н. Боголюбов (1930). Обобщение теории П. п. ф. на разрывные функции впервые дано В. В. Степановым (1925), а потом Г. Вейлем (См. Вейль) и А. Безиковичем. Обобщение другого рода было дано советским математиком Б. М. Левитаном (1938).
Лит.: Бор Г., Почти периодические функции, пер. с нем., М. — Л., 1934; Левитан Б. М., Почти-периодические функции, М., 1953.